МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ДОПОМОГОЮ КВАДРАТУРНИХ ФОРМУЛ НЬЮТОНА-КОТЕСА Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу "Чисельні методи" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" Затверджено на засіданні кафедри прикладної математики Протокол № від 12.06.2009 Львів – 2009 Наближене обчислення інтегралів за допомогою квадратурних формул Ньютона-Котеса: Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу "Чисельні методи" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" / Укл.: М.В. Кутнів, Я.В. Пізюр – Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2009. — 17 с. Укладачі Кутнів М.В., доктор фіз.мат. наук, доц. Пізюр Я.В., канд. фіз.мат. наук, доц. Відповідальний за випуск Костробій П.П., канд. фіз. мат. наук, проф. Рецензент Каленюк П.І., доктор. фіз. мат. наук, проф. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА §1. Наближене обчислення інтегралів. Інтерполяційні квадратурні формули Нехай потрібно обчислити інтеграл
(1) де
— задана інтегровна на
вагова функція,
— задана достатньо гладка на
функція. Для наближеного обчислення (1) будемо розглядати формули вигляду
(2) які називаються квадратурними формулами. Числа
називають вузлами квадратурної формули, а числа
— коефіцієнтами, або ваговими коефіцієнтами. Величина
називається залишковим членом, або похибкою квадратурної формули. Якщо залишковий член квадратурної формули дорівнює нулю для будьякого многочлена не вище
го степеня, то кажуть, що квадратурна формула має алгебраїчну степінь точності
. Якщо функцію
на
замінити інтерполяційним поліномом Лагранжа
то одержимо квадратурну формулу інтерполяційного типу. У цьому випадку
. (3) Очевидно, що алгебраїчна степінь точності квадратурної формули інтерполяційного типу (2) з ваговими коефіцієнтами (3) є щонайменше
. Дійсно, якщо
— многочлен степеня
, то його можна записати у вигляді інтерполяційного многочлена Лагранжа, а тому
. Дамо оцінку похибки квадратурної формули інтерполяційного типу. Запишемо функцію
у вигляді
, де
— похибка інтерполяції. Тоді
Отже, залишковий член
квадратурної формули інтерполяційного типу дорівнює
де
. Звідси, якщо
, то для залишкового члена квадратурної форми інтерполяційного типу справджується оцінка
. (4) §2. Квадратурні формули Ньютона — Котеса Якщо у квадратурній формулі (2) з ваговими коефіцієнтами (3) для інтегралів (1) з
вузли рівновіддалені, тобто

то така формула називається квадратурною формулою Ньютона–Котеса. У формулах Ньютона–Котеса крок
. Тоді квадратурна формула (2), (3) буде мати вигляд
(1) де
Зробимо заміну змінних
. Тоді
і

Отже,
Позначимо
, (2) тоді
. (3) Коефіцієнти
не залежать від проміжку інтегрування
і можуть бути обчислені один раз. Оцінка залишкового члена квадратурних формул Ньютона–Котеса має вигляд
(4) На практиці використовують часткові випадки формул Ньютона–Котеса при невеликих
, оскільки при великих
деякі коефіцієнти
стають від’ємними, що призводить до великих похибок заокруглень. Розглянемо детальніше формули Ньютона–Котеса. Нехай
, тобто підінтегральну функцію замінимо інтерполяційним многочленом нульового степеня
, тоді
. Ця формула називається формулою лівих прямокутників. Якщо
, то одержимо формулу правих прямокутників
. А при
будемо мати формулу середніх прямокутників (див. рис.1)

Оцінка залишкового члена (4) при
(тобто для формули лівих прямокутників) буде мати вигляд
Ця оцінка не зміниться, якщо
. Застосуємо (4) до формули середніх прямокутників


. Якщо від підінтегральної функції
існує неперервна друга похідна
, то для формули середніх прямокутників можна одер...